Riemann Integrals
In der Differentialrechnung ist eine Funktion \(f\) gegeben und deren Ableitung \(f'\) gesucht. In der Integralrechnung ist es genau anders herum. Die Ableitung \(f'\) ist gegeben und die Funktion \(f\) wird gesucht. Z.B. Wenn \(f'(x)=2x\) ist dann wissen wir das \(f(x)=x^2\) ist. Die gesuchte Funktion beim integrieren wird auch oft als die Stammfunktion \(F\) genannt, beachte hier ist es ein Grossbuchstabe. Wir sehen also, dass das Integrieren die Umkehrfunktion zum Ableiten.
\[F(x)=f(x)=\int{f'(x)\,dx} \]Zu unserem oberen Beispiel können wir auch noch eine Konstante \(C\) hinzufügen und es ist immernoch eine Stammfunktion also
\[f(x)=x^2+3 \Rightarrow f'(x)= 2x \]Wir können also sehen, dass es zu jeder stetigen Funktion \(f(x)\) unendlich viele Stammfunktionen gibt. Das heisst dann wiederum, dass zwei beliebige Stammfunktionen \(F_1(x)-F_2()=Konstante\) sich nur um eine Konstante unterscheiden. Wir beschreiben also die Menge aller Stammfunktionen als
\[F(x)=F_1(x)+C \]Antiderivatives
indefinite integral of a function is the antiderivative of that function.
Integration by Substitution
Bei der Integration durch Substitutionen wollen wir mit Hilfe von geeigneten Variabel-Substitutionen das Integral vereinfachen oder wenn möglich sogar zu einem Grundintegral umwandeln.
Am besten können wir diese Methode verwenden wenn wir den folgenden Fall haben
\[\int{f(x)\,dx}=\int{f(g(x))\cdot g(x)'\,dx} \]also wenn wir eine Verkettung von Funktionen haben und die innere Funktion abgeleitet im Integral vorkommt. Ein häufiges Beispiel ist
\[\int{x\cdot e^{x^2}} \]weil es nicht normalerweise lösbar ist. Hier ist \(g(x)=x^2\) was abgeleitet zu \(g'(x)=2x\) wird wir haben aber nur \(x\) nicht \(2x\). Grund dafür ist die Faktorregel welche besagt das wir die 2 ja herausnehmen können, deshalb können wir Konstanten bei der obigen Voraussetzung ignorieren.
Der erste Schritt haben wir schon gemacht wir haben unsere variable zum Substituieren identifiziert \(u=x^2\). Wir müssen aber alles was mit der alten Variable zu tun haben ersetzen, inklusive das \(dx\). Um dies zu erreichen benutzen wir noch die folgende Formel \(dx=\frac{du}{u'}=\frac{du}{2x}\).
Nun können wir in der Formel alles ersetzen
\[\int{x\cdot e^{x^2}}=\int{x\cdot e^u\, \frac{du}{2x}} \]Dank der obigen Voraussetzung lässt sich das vordere \(x\) wegkürzen.
\[\int{\frac{e^u\,du}{2}}=\int{\frac{1}{2}\cdot e^u\,du}=\frac{1}{2}\int{e^u\,du} \]Nun haben wir ein Grundintegral und wir wissen das \(e^u\) abgeleitet/integriert \(e^u\) bleibt können wir das Integral lösen
\[\frac{1}{2}\int{e^u\,du}=\frac{1}{2}e^u +C \]Oftmals will man noch die originale Variable beibehalten, dafür macht man dann eine Rücksubstitution.
\[\frac{1}{2}e^u +C=\frac{1}{2}e^{x^2} +C \]Integration durch Substitutionen eines bestimmten Integrals
Bei einem bestimmten Integral gehen wir genau gleich vor wie bei einem unbestimmten jedoch haben wir noch 2 weitere Schritte. Zwar müssen wir die Grenzen auch ersetzen und am Schluss dann das Integral ausrechnen. Dafür verwenden wir das folgende Beispiel
\[\int_{0}^{1}{x\cdot \sqrt{1+x^2}} \]Wir setzen \(u=1+x^2\) und somit auch \(dx=\frac{du}{x'}=\frac{du}{2x}\)
Nun müssen wir die Grenzen noch ersetzen. Für die untere Grenze ist \(x=0\) und somit dann \(u=1+0^2=1\). Für die obere Grenze \(x=1\) und somit \(u=1+1^2=2\). Nun können wir alles ersetzen.
\[\int_{0}^{1}{x\cdot \sqrt{1+x^2}}=\int_{u=1}^{u=2}{x\cdot \sqrt{u}\,\frac{du}{2x}}=\int_{1}^{2}{\frac{1}{2}\cdot \sqrt{u}\,du}=\frac{1}{2}\int_{1}^{2}{(u)^{\frac{1}{2}}\,du} \]Weil \((\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}})'=(u)^{\frac{1}{2}}\) können wir schreiben
\[\frac{1}{2}\cdot\Big|\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}\Big|_1^2=\frac{1}{3}\cdot\Big|\sqrt{u^3}\Big|_1^2=\frac{1}{3}(\sqrt{8}-1) \]Integration by Parts
Die Partielle Integrationsmethode wird auch oft Produkt integration genannt. Wir können diese Integrationsmethode wenn schon aus einem Produkt von 2 Funktionen besteht oder es als Produkt von 2 Funktionen darstellbar ist z.B. \(\int{x\cdot e^x \,dx}\)
\[\int{f(x)\,dx}=\int{u(x)\cdot v(x)\,dx} \]Wichtig dabei ist, dass auch eines der Faktoren einfach integrierbar ist, wir sehen also schnell das eines der Faktoren eine Ableitung ist.
Aus der Produktregel der Differentialrechnung können wir folgendes bilden
\[\begin{align*} &(u(x)\cdot v(x))'=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x) \\ &\Rightarrow u(x)\cdot v'(x)=(u(x)\cdot v(x))'-u'(x)\cdot v(x) \end{align*} \]Unbestimmte Integration auf beiden Seiten führt dann zu
\[\begin{align*} &\int{u(x)\cdot v'(x)\,dx}= \int{(u(x)\cdot v(x))'\,dx}-\int{u'(x)\cdot v(x)\,dx} \\ &\Rightarrow \int{u(x)\cdot v'(x)\,dx}= u(x)\cdot v(x)-\int{u'(x)\cdot v(x)\,dx} \end{align*} \]Mit dieser Formel kann man dann die Integration lösen wenn man \(u(x)\) ableitet und \(v(x)\) integriert.
Genau so kann man auch vorgehen wenn es ein bestimmtes Integral ist nur ist es dann
\[\int_a^b{u(x)\cdot v'(x)\,dx} = \Big|u(x)\cdot v(x)\Big|_a^b-\int_a^b{u'(x)\cdot v(x)\,dx} \]Mehr dazu findest du auch hier
Wir wollen das follgende Problem lösen
\[\int{x\cdot e^x \, dx}=? \]Zuerst zerlegen wir den Integrand wie oben beschrieben.
- \(u(x)=x\)
- \(u'(x)=1\)
- \(v'(x)=e^x\)
- \(v(x)=e^x\)
Aus der Formel können wir dann folgende berechnen
\[\begin{align*} \int{x\cdot e^x \, dx}&=x \cdot e^x - \int{1 \cdot e^x \,dx} \\ &\Rightarrow x \cdot e^x - e^x + C = (x-1) \cdot e^x + C \end{align*} \]Integration using Partial Fractions
Integration durch Partialbruchzerlegung ist eine spezielle Integrationsmethode die für echt gebrochen rationale Funktionen entwickelt wurde. Ist eine Funktion unecht gebrochen, muss sie zuerst in eine ganzrationale und eine echt gebrochen rationale Funktionen zerlegt werden mit der Polynomdivision. Diese Umwandlung ist immer möglich.
Ein Video zu der Polynomdivision gibt es hier
Ist der Grad \(m\) des Nenners größer als der Grad \(n\) des Zählers, so heißt die rationale Funktion \(f(x)\) echt gebrochen.
\[\text{echt gebrochene Funktion: }f(x)=\frac{x^3+x^2+x+1}{x^4+3x+3} \] \[\text{unecht gebrochene Funktion: }f(x)=\frac{x^3+x^2+x+1}{x^2+5x+1} \]Im Nenner sollte ausserdem eine Linearfaktorzerlegung sein. Ist dies nicht der Fall kann dies schnell erreicht werden, indem man die Nullstellen herausfindet.
Ein Video zu der Linearfaktorzerlegung gibt es hier
Danach kann die Partialbruchzerlegung einfach gemacht werden und von jedem partiellen Bruch das Integral berechnen dank der Summenregel.
Ein Video zu dem ganzen Prozess findest du hier
Improper Integrals
Double Integrals
Ein gutes Video zu wie man das macht findest du hier
Integration Rules
Faktorregel
Ein konstanter Faktor, \(C \in \mathbb{R}\), darf vor das Integral gezogen werden
\[\int_{a}^{b}{C \cdot f(x)\,dx}=C\cdot \int_{a}^{b}{f(x)\,dx} \]Diese Regel gilt auch für unbestimmte Integrale.
Summenregel
Eine endliche Summe von Funktionen darf gliedweise integriert werden
\[\int_{a}^{b}{(f_1(x)+...+f_n(x))\,dx}=\int_{a}^{b}{f_1(x)\,dx}\,+...+ \int_{a}^{b}{f_n(x)\,dx} \]Diese Regel gilt auch für unbestimmte Integrale.
Vertauschungsregel
Wenn man die beiden Integrationsgrenzen vertauscht bewirkt dies ein Vorzeichenwechsel des Integrals
\[\int_{b}^{a}{f(x)\,dx}=-\int_{a}^{b}{f(x)\,dx} \]Gleiche Integrationsgrenzen
Falls die Integrationsgrenzen gleich sind also \(a=b\), dann ist der Integralwert gleich 0. Dies macht auch Sinn wenn sich das Integral als Fläche unter der Funktionskurve vorstellt.
math\int_{a}^{a}{f(x)\,dx}=0Zerlegung des Integrationsintervalls
Für jede Stelle \(c\) aus dem Integrationsintervall \(a\leq c \leq b\) gilt
\[\int_{a}^{b}{f(x)\,dx}=\int_{a}^{c}{f(x)\,dx}+\int_{c}^{b}{f(x)\,dx} \]