Continuous Functions
Real Functions
Epsilon-Delta Definition of Continuity
Intermediate Value Theorem
Number of Roots
Extreme Value Theorem
Inverse Function Theorem
Stetigkeit
Eine Funktion heisst stetig, wenn ihr Graph kein Loch und keinen Sprung aufweist, d.h. wenn man beim Zeichnen ihres Graphen den Stift nicht absetzen muss.
Eine Funktion heisst an einer Stelle \(x = x_0\) stetig, wenn der Grenzwert von \(f(x)\) für \(x \to x_0\) existiert und mit dem Funktionswert an der Stelle \(x_0\) übereinstimmt:
\[\lim_{x \to x_0}{f(x)}=f(x_0) \]Eine Funktion, die an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches \(D\) stetig ist, nennt man eine stetige Funktion (auf \(D\)).
Existiert der Grenzwert hingegen nicht oder ist er nicht gleich wie der Funktionswert, so ist die Funktion an dieser Stelle unstetig.
Hebbare Unstetigkeitsstelle
Wenn bei einer Funktion f der linksseitige Grenzwert und der rechtsseitige Grenzwert existieren und gleich sind aber nicht mit dem Funktionswert \(f(x_0)\) übereinstimmen oder die funktion an \(x_0\) nicht definiert ist, dann kann man eine neue Funktion definieren, die an der Stelle \(x_0\) stetig ist. Die Stelle \(x_0\) heisst hebbare Unstetigkeitsstelle
\[\hat{f}=\begin{dcases} f(x), x\neq x_0 \\ G, x=x_0 \end{dcases} \]Stetige Funktionen
- Polynomfunktion sind für \(R\) stetig.
- Exponentialfunktionen \(f(x)=a^x, (a > 0, 1\neq 0)\) sind für \(R\) stetig.
- Logarithmusfunktionen \(f(x)=log_a(x), (a > 0, 1\neq 0)\) sind für \(x>0\) stetig.
- Trigonometrsiche Funktionen \(cos(x), sin(x)\) sind für \(R\) stetig.
- Hyperbelfunktionen \(sinh(x), cosh(x), tanh(x))\)sind für R stetig.
Rechenregeln für Stetige Funktionen
Sind die Funktionen \(f\) und \(g\) auf ihrem ganzen Definitionsbereich stetig, insbesonders an der Stelle \(x_0\) gilt:
- \(f \pm g\) ist ebenfalls stetig in \(x_0\)
- \(f * g\) ist ebenfalls stetig in \(x_0\)
- \(f \over g\) ist ebenfalls stetig in \(x_0\), falls \(g(x_0) \neq 0\)
- Die Komposition von \(f \circ g\) ist ebenfalls an der Stelle \(x_0\) stetig