Function Analysis
Real Functions
Unter einer reellen Funktion \(f\) versteht man die Abbildung, die jedem \(x \in D\) mit \(D \subseteq R\) genau eine reelle Zahl \(y\) aus einer Wertemenge \(W\) zuordnet:
\[f:x\mapsto y=f(x), D \subseteq R \mapsto W \subseteq R \]Nullstelle
Eine Funktion \(f\) besitzt eine Nullstelle in \(x_0\), falls \(f(x_0) = 0\) gilt. Der Funktionsgraph schneidet die x-Achse in einer Nullstelle der Funktion.
Gerade
Eine Funktion heisst gerade, falls \(f(x) = f(−x)\) für alle \(x\in D\) gilt. Der Funktionsgraph einer geraden Funktion ist spiegelsymmetrisch zur y−Achse.
Die Funktion \(f(x)=x^2\) ist gerade.
Ungerade
Eine Funktion heißt ungerade, falls \(f(−x) = −f(x)\) für alle \(x\in D\) gilt. Der Funktionsgraph einer ungerade Funktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
Die Funktion \(f(x)=x^3\) ist ungerade.
Polynomfunktion
Eine Funktion \(f: R \mapsto R\) der Form:
\[f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 \]mit \(a_n \neq 0\) heisst Polynom vom Grad \(n\). Die reelen Zahlen \(a_0,a_1,...,a_n\) heissen Koeffizienten der Polynoms.
\(f_1(x)=x^3-x+2\) ist ein Polynom 3. Grades. \(f_2(x)=2x^7-4x^5+x^2-3x+2\) ist ein Polynom 7. Grades.
Fundamental Theorem of Algebra
Every polynomial of degree \(n\) has \(n\) roots in the complex plane. so has \(n\) solutions including complex solutions.
Linearfaktoren
Ist \(x_0\) eine Nullstelle des Polynoms \(n\)-ten Grades von \(f\), dann wäre ein Linearfaktor von \(f\):
\[f(x)=(x-x_0)(b_nx^{n-1}+..+b_2x+b_1) \]Jedes Polynom \(n\)-ten Grades hat höchstes n verschiedene Nullstellen. Besitzt ein Polynom \(n\)-ten Grades \(n\) Nullstellen \(x_1,x_2,..x_n\) dann lässt es sich als Produkt aus \(n\) Linearfaktoren darstellen:
\[f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_1x+a_0=a_n(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_{n-1})(x-x_n) \]Zerlegung in Linearfaktoren
Die Abspaltung eines Linearfaktors erreicht man am besten mit Polynomdivision.
\(f(x)=x^3-7x^2-10x+16\) Durch einsetzen, dass \(x_1 = {\color{Red}1}\) eine Nullstelle des Polynoms d.h. \(f(1) = 0\)
\((x^3-7x^2-10x+16) : (x-{\color{Red}1})=x^2-6x-16\) \(\underline{-(x^3-x^2)}\) \(\quad -6x^2-10x\) \(\quad \underline{-(-6x^2+6x)}\) \(\quad \quad -16x+16\) \(\quad\quad \underline{-(-16x+16)}\) \(\quad\quad\quad0\)
Wir erhalten dadurch: \(f(x)=(x-1)(x^2-6x-16)\). \((x^2-6x-16)\) kann dann weiter mit der Polynomdivision zerteilen um die weiteren Linearfaktoren zu erhalten.
\(f(x)=x^3-7x^2-10x+16=(x-1)(x+2)(x-8)\)
Rationale Funktion
Eine rationale Funktion ist eine Funktion, die sich als Bruch von zwei Polynomfunktion \(g(x)\) und \(h(x)\) darstellen lässt.
\[f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}={{a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_1x+a_0}\over {b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_1x+b_0}} \]Ein Polynomfunktion ist eine rationale Funktion wo \(n=0\).
Echt rationale Funktionen
Wenn \(m < n\)
Unecht rationale Funktionen
Wenn \(m \geq n\)
Eigenschaften
Sei \(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\) eine rationale Funktion. Mit Zähler und Nenner soweit möglich in Linearfaktoren zerteilt und gemeinsame Linearfaktoren gekürtzt
Nullstellen
Die im Zähler(\(g(x)\)) verbleibenden Linearfaktoren ergeben die Nullstellen der Funktion \(f(x)\).
Das Newtonverfahren (oder Tangentenverfahren von Newton) ist eine sogenanntes Iterationsverfahren. Das Lösen von Gleichungen gehört zu den wichtigsten Aufgaben der Mathematik. Jedoch können wir schon einfache Gleichungen, wie z. B. \(x^3+x=1\) nicht mehr so einfach lösen. Weshalb wir ein Näherungsverfahren zur Lösung von Gleichungen der Form \(f(x)=0\) verwenden. Jede Gleichung kann auf diese Form gebracht werden.
\[x^3+x=1 \iff x^3+x-1=0 \]Ist \(\xi\) eine Lösung der Gleichung \(f(x)=0\) gilt \(f(\xi)=0\), so kann die Stelle \(\xi\) auch Nullstelle sein.
Polstellen
Die im Nenner (\(h(x)\))verbleibenden Linearfaktoren ergeben die Polstellen der Funktion \(f(x)\).
Pollstelle k-ter Ordnung
Ist Linearfaktor im gekürzten Nenner in \(k\)-ter Ordnung \((x - x_0)^k, k \in N\) dann nennt man die Stelle \(x_0\) eine Polstelle \(k\)-ter Ordnung.
Pollstelle mit Vorzeichenwechsel
Es sei \(x_0\) eine Pollstelle \(k\)-ter Odnung.
- Ist \(k\) gerade, so handelt es sich um eine Pollstelle ohne Vorzeichenwechsel.
- Ist \(k\) ungerade, so handelt es sich um eine Pollstelle mit Vorzeichenwechsel.
\(f(x)={1 \over (x+1)}\) hat bei \(x=-1\) eine Pollstelle mit Vorzeichenwechsel. \(f(x)={1 \over (x-1)^2}\) hat bei \(x=1\) eine Pollstelle ohne Vorzeichenwechsel.
Defintionslücken
Vor dem kürzen sind die Nullstellen im Nenner(\(h(x)\)) für rationale Funktionen nicht definiert. Sie müssen explizit aus dem Definitionsbereich der Funktion herausgenommen werden, man spricht von Definitionslücken.
Hebbare Definitionslücken
Die vollständig weggekürzten Linearfaktoren im Nenner geben die hebbaren Definitionslücken der Funktion \(f(x)\) an.
Verhalten rationale Funktionen im Unendlichen
Genau gleich wie 2-FolgenRationale Folgen. Sei \(f(x) = {g(x)\over h(x)}\) eine rationale Funktion, dann gilt für den Grenzwert:
\[\lim_{n \to \infty}{f(x)} = \begin{cases} 0, grad\space g < grad \space h \\ {a_n \over b_n} , grad \space g=grad \space h \\ {a_n \over b_n} * \infty , grad \space g > grad\space h \end{cases} \]Umkehrfunktion
Eine Funktion \(f: x \mapsto y, D \mapsto W\) heisst umkehrbar, wenn aus \(x_1 \neq x_2\) stets folgt \(f(x_1)\neq f(x_2)\) Ist die Funktion umkehrbar, dann gibt es zu jedem \(y \in W\) genau ein \(x \ in D\) \(f^{-1}: y \mapsto f^{-1}(y)=f^{-1}(f(x))=x\) wird Umkehrfunktion genannt.
Potenzfunktion
Polynomfunktion der Form \(p: x \mapsto ax^n, R \mapsto R\) für \(a,n \in R\) Potenzfunktion haben Wurzelfunktion als Umkehrfunktion und umgekehrt.
\(p(x) = x^2\) hat \(p^{-1}(x)=\sqrt{x} = x^{1 \over 2}\) \(p(x) = x^3\) hat \(p^{-1}(x)=\sqrt[3]{x} = x^{1 \over 3}\)
Wurzelfunktion
Die Funktion\(p^{-1}: x \mapsto\sqrt[n]{x}\) für n gerade \(R^+ \mapsto R^+\), für n ungerade \(R \mapsto R\) heisst \(n\)-te Wurzerlfunktion mit \(n \in N\).
Exponentialfunktion
\(f: x \mapsto e^x\) mit \(e=2.71828...=\) Eulersche Zahl heisst Exponentialfunktion.
Rechenregeln der Exponentialfunktion
- \(e^0=1\)
- \(e^{x+y}=e^x*e^y\)
- \(e^{-x}=(e^x)^-1={1 \over e^x}\)
- \(e^{nx}=(e^x)^n\)
- \(e^{1 \over n}=\sqrt[n]{e}\)
Logarithmusfunktion
Die Umkehrfunktion zu Exponentialfunktion wird natürliche Logarithmusfunktion genannt. \(f: x \mapsto ln(x), R^+ \mapsto R\)
Rechenregeln der Logarithmusfunktion
- \(ln(1)=0\)
- \(ln(x*y)=ln(x)+ln(y)\)
- \(ln(x^n)= n*ln(x)\)
- \(ln(e^x)=x ln(e) = x\) weil \(ln(e)=1\)
Trigonometrische Funktionen
Sinus- und Cosinusfunktion sind periodisch mit der Periode \(2\pi\), d.h. es gilt \(f(x)=f(x+k*2\pi), k \in Z\)
Die Funktionsgraphen von Sinus- und Cosinusfunktion sind kongruent. Durch Verschiebung um \(2\pi\) nach links, geht die Cosinus-Kurve aus der Sinus-Kurve hervor.
Trigonometrischer Pythagoras
\[sin^2(a)+cos^2(a)=1 \]Sinus
\(sin: x \mapsto sin(x), R \mapsto [-1,1]\)
Cosinus
\(cos: x \mapsto cos(x), R \mapsto [-1,1]\)
Tangens
Cotangens
Steigung
Die allgemeine Geradengleichung lautet:
\[g(x)=m*(x-x_0)+y_0 \]\(m\) ist dann die Steigung der Geraden.
Sekante - Differenzenquotient
Eine Gerade durch 2 Punkte \(P_0(x_0/f(x_0))\) und \(P_1(x_1/f(x_1))\) heisst Sekante. Die Steigung der Sekante wird Differenzenquotient genannt.
\[m={\Delta f \over \Delta x }={{f(x1)-f(x_0)} \over {x_1-x_0}}={f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)\over \Delta x} \]Gleichung der Sekante lautet: \(g(x)=m*(x-x_0)+f(x_0)\)
Tangente - Differenzialkoeffizient
Eine Tangente einer Funktion \(f\) im Punkt \(x_0\) ist eine Gerade durch einen Punkt \(P(x_0/f(x_0))\). Der Grenzwert des Sekante - Differenzenquotient wird als Differnzialkoeffizient, dafür gibt es verschiedende Schreibweisen:
\[f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to x_0}{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)\over \Delta x}=\lim_{\Delta x \to x_0}{\Delta f \over \Delta x}={df \over dx}=\lim_{h \to x_0}{{f(x+h)-f(x)}\over h} \]Gleichung der Tangente lautet: \(g(x)=f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)\)
Existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten dann nennt man die Funktion differenzierbar an der Stelle \(x_0\). Der Grenzwert wird als Ableitung der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\).
Ableitungsfunktion
Die Funktion \(f': x \mapsto f'(x)\) heisst die Ableitungsfunktion von \(f(x)\) oder kurz Ableitung von \(f()x\). Die Ableitungsfunktion ordnet jedem Wert x die Steigung der Tangente an der Stelle x zu.
Höhere Ableitung
Exisitiert zu einer Funktion \(f\) Ableitung \(f'\) und ist \(f'(x)\) wieder differenzierbar, so bezeichnet man deren Ableitung als zweite Ableitung \(f''(x)\). Es gilt also \(f''=(f')'\) Die \(n\)-te Ableitung für \(n>3\) schreibt man \(f^{(n)}\), die Funktion ist dann \(n\)-mal differenzierbar.
Differenzierbarkeit und Stetigkeit
- Jede differenzierbare Funktion ist auch stetig und hat an allen Stellen eine eindeutige Steigung.
- Ist eine Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) nicht stetig, dann ist sie dort auch nicht differenzierbar.
Monotonie
Die erste Ableitung an der Stelle \(x_0\) beschreibt das Steigungsverhalten einer Funktion \(f\) in der unmittelbaren Umgebung der Stelle \(x_0\)
\[f'(x_0)=\begin{dcases} <0 \Rightarrow \text{Funktion fällt, streng monoton fallend} \\ >0 \Rightarrow \text{Funktion wächst, streng monoton wachsend} \end{dcases} \]Krümmung
Die zweite Ableitung an der Stelle \(x_0\) be-schreibt das Krümmungsverhalten einer Funktion \(f\) in der unmittelbaren Umgebung der Stelle \(x_0\):
\[f''(x_0)=\begin{dcases} <0 \Rightarrow \text{Rechtskrümmung, Steigung nimmt ab} \\ <0 \Rightarrow \text{Linkskrümmung, Steigung nimmt zu wachsend} \end{dcases} \]Konkav
Ist \(f''(x) < 0 \Rightarrow f'(x)\) ist streng monoton fallend \(\Rightarrow f(x)\) ist konkav (Rechtsgekrümmt).
Konvex
Ist \(f''(x) > 0 \Rightarrow f'(x)\) ist streng monoton wachsend \(\Rightarrow f(x)\) ist konvex (linksgekrümt).
Extremwerte
Lokales Maximum
Ist \(f'(x_0)=0\) und \(f''(x_0)<0\), dann ist x_0 ein lokales Maximum.
Lokales Minimum
Ist \(f'(x_0)=0\) und \(f''(x_0)>0\), dann ist x_0 ein lokales Minimum.
Wendepunkte und Sattelpunkte
Ist \(f''(x_0)=0\) und \(f'''(x_0)\neq 0\), dann ist \(x_0\) ein Wendepunkt. Wenn zusätzlich noch \(f'(x_0)=0\), dann ist \(x_0\) zusätzlich noch ein Sattelpunkt.